?

Log in

No account? Create an account
Ахилл, черепаха и бесконечная геометрическая прогрессия - Коммик, Just Коммик — LiveJournal
January 25th, 2015
02:25 pm

[Link]

Previous Entry Share Next Entry
Ахилл, черепаха и бесконечная геометрическая прогрессия
В парадоксе Зенона Ахилл никогда не догонит черепаху, поскольку, когда он приблизится к месту, где она была, черепаха успеет отползти, и процесс этот будет продолжаться бесконечное число раз.

Предположим, Ахилл находится от черепахи на расстоянии, которое он может пробежать за время T, имея скорость -- v1; обозначим скорость черепахи v2; Ахилл бежит быстрее, поэтому v1 > v2. Я обозначу отношение скоростей α = v2/v1 < 1.

За время, за которое Ахилл достигнет исходного положения черепахи, последняя отползет на расстояние Tv2. Чтобы преодолеть это расстояние, Ахиллу потребуется время Tv2/v1 = Tα. За это время черепаха еще отползет на расстояние Tαv2, а Ахилл преодолеет это расстояние за время Tαv2/v1 = Tα2.

Таким образом, полное время, за которое Ахилл догонит черепаху, будет равняться
progression
В то же время мы можем легко определить, как скоро Ахилл догонит черепаху: с момента достижения исходной позиции черепахи ему еще потребуется время T', за которое он преодолеет расстояние, которое черепаха проползла за время T + T':

T'v1 = (T + T')v2, откуда

T' = Tα/(1 - α),

и, следовательно, полное время равняется

T + T' = T/(1 - α).

Сравнивая с первым вычислением, приходим к формуле для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

S = 1/(1 - α).

Что здесь интересного, товарищи? Формула для суммы прогрессии получена очень простым неортодоксальным путем, что иллюстрирует частое явление в математических открытиях: решения трудных проблем иногда находятся как побочный результат решения совсем других проблем.

Tags:

(Leave a comment)

Powered by LiveJournal.com