?

Log in

No account? Create an account
Задача по геометрии для пятиклассников - Коммик, Just Коммик — LiveJournal
October 16th, 2007
07:33 pm

[Link]

Previous Entry Share Next Entry
Задача по геометрии для пятиклассников
Моей дочери -- 10 лет, 5-й класс канадской школы -- задали задачу: почему невозможно построить равносторонний треугольник на так называемой geoboard (см. рис. слева)? Предполагаем, что geoboard задержит настолько много пеньков, сколько нужно для решения.

Найдется ли читатель, способный доказать это утверждение, оперируя на уровне знаний, не выходящих за пределы средней школы? (Однако наличие университетского образования и ученой степени не будет основанием для дисквалификации.)

Tags:

(30 comments | Leave a comment)

Comments
 
[User Picture]
From:krol_hydrops
Date:October 17th, 2007 12:15 am (UTC)
(Link)
Все просто, товарищ Сталин!

Вписываем треугольнег в прямоугольнег - так, что одна из вешин попадает в верхину, две другие - на стороны. Теорему Пифагора знаем?

Значит, надо решить в целых числах уравнение

(b+d)^2+a^2=c^2+d^2=b^2+(a+c)^2

(где a,c,d,b - огрызки сторон пр. после разбития вершинами тр.)

Можно предположить, что хотя бы одно из четырех чисел - нечетное (иначе - все делится пополам, пока не).

Осталось перебрать все комбинации чет/нечет (15 штук) и убедиться, что ни пса не сходится по модулю 4.

[User Picture]
From:stalinist
Date:October 17th, 2007 12:29 am (UTC)

Не понял, почему комбинаций только 15

(Link)
Не понял, почему комбинаций только 15: я же написал, что доска может быть сколь угодно большая?
[User Picture]
From:krol_hydrops
Date:October 17th, 2007 12:32 am (UTC)

Re: Не понял, почему комбинаций только 15

(Link)
Потому что достаточно следить за четностью и нечетностью.
[User Picture]
From:schloenski
Date:October 17th, 2007 02:52 am (UTC)
(Link)
У меня решение, требующее знания тригонометрии и иррациональных чисел. Оно, конечно, школьное, но требованиям, поставленным в постинге, не вполне удовлетворяет, т.к. в 10 лет тригонометрии не знают. Однако, зря, что-ли, я не спал и над ним думал? Держите.

Лемма 1. Рассмотрим угол между двумя верёвочками на доске, одна из которых горизонтальна (или вертикальна). Тангенс такого угла рационален.

Лемма 2. Пусть угол фи является суммой (или разностью) двух углов фи1 и фи2, тангенсы которых рациональны. Тогда тангенс фи рационален.

Доказательство: Применяем формулу тангенса суммы/разности, известную школьникам: http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_identities

Следствие: Тангенс угла, образованного двумя верёвочками в произвольном положении, рационален.

Наблюдение: tg 60=sqrt(3), иррациональное число.
[User Picture]
From:stalinist
Date:October 17th, 2007 03:00 am (UTC)

Обратите внимание на мою реплику выше

(Link)
Обратите внимание на мою реплику выше: Решение это задачи, кстати, доказывает, к примеру, иррациональность корня из трех.

То есть я исхожу из того, что иррациональность корня из трех школьнику не известна, и ее еще надо доказать (что, впрочем, не трудно).

Кстати, в 10 лет и теорему Пифагора еще не знают, так что задачка была предложена явно не по возрасту.
[User Picture]
From:schloenski
Date:October 17th, 2007 03:05 am (UTC)

Re: Обратите внимание на мою реплику выше

(Link)
Ну да, решение, предложенное выше, лучше моего! Зато моё понятнее :-)
From:(Anonymous)
Date:October 17th, 2007 04:11 am (UTC)

Мы академиев не кончали, поэтому по-простому...

(Link)
У равностороннего треугольника все углы по 60 градусов. На геоборде такой угол построить нельзя, т.к. тангенс этого угла - нерациональное число, которое невозможно выразить дробью.
[User Picture]
From:stalinist
Date:October 17th, 2007 11:53 am (UTC)

Re: Мы академиев не кончали, поэтому по-простому...

(Link)
1. В школе не изучают иррациональные числа, поэтому надо доказать, что корень из трех иррационален.

2. Стороны треугольника не обязаны быть вертикальными или горизонтальными, поэтому то, что тангенс построенного угла будет рационален, не очевидно.
[User Picture]
From:mathemnikiforov
Date:October 18th, 2007 03:50 am (UTC)

Re: Мы академиев не кончали, поэтому по-простому...

(Link)
Блеск!
Респект Вам!
From:(Anonymous)
Date:October 17th, 2007 04:17 am (UTC)

Вот похожая загадка

(Link)
http://www.mgerald.nm.ru/Fun/Triangle.jpg
[User Picture]
From:logicz
Date:October 17th, 2007 06:31 am (UTC)

Re: Вот похожая загадка

(Link)
Угу, разгадывается по тем же принципам.

Согнутая и выпуклая гепотенуза - это клёво. :)
Порадовали.
From:qaraabayna
Date:October 17th, 2007 11:33 am (UTC)
(Link)
Задача совершенно неопределена, ибо не дан уровень знаний пятиклассника в стране проживания автора
[User Picture]
From:stalinist
Date:October 17th, 2007 11:57 am (UTC)

Слабое утверждение

(Link)
Слабое утверждение; сильным было бы решить задачу с абсолютно минимальным требуемым знанием.
From:qaraabayna
Date:October 17th, 2007 04:41 pm (UTC)

Re: Слабое утверждение

(Link)
Такая постановка бессмысленна. Можно взять минимальное знание вывести из него половину большого раздела математики и наконец (c песнями) доказать что требуется.

Минимум сырого материала (Littlewood), с другой стороны, делает задачки интересными. Иногда (все реже и реже) такие задачки подкидывает пользователь avva.
From:mariavas81
Date:October 24th, 2008 12:10 pm (UTC)
(Link)
жесть ;)
Powered by LiveJournal.com