Коммик (stalinist) wrote,
Коммик
stalinist

Помассируем мозговые извилины? Фокусирующая поверхность

Задача: на некую двумерную криволинейную зеркальную поверхность падает широкий параллельный пучок света. Эта поверхность отражает лучи пучка так, что существует точка, которая называется "фокусом", определяемая таким свойством: каждый луч, независимо от его положения в пучке, после отражения проходит через фокус, или, другими словами, поверхность отражает каждый луч в сторону фокуса.

Задача -- найти форму такой зеркальной поверхности. Наверное, большинство людей знают, какова эта форма: эту форму имеют, к примеру, зеркала телескопов и антенны спутниковых приемников. Взяв уравнения, описывающие такие зеркала, нетрудно показать, что они имеют фокус в соответствии с приведенным выше определением.

Однако, предположим, нам неизвестна эта форма. Как ее можно вывести аналитически?

Ясно, что это должна быть поверхность вращения некоей двумерной кривой вокруг оси, параллельной падающему пучку света, и фокус должен лежать на этой оси. Поэтому задача сводится к нахождению этой кривой, задаваемой, скажем, в координатах x, y функцией y = f(x), где ось y параллельна пучку, падающему из плюс-бесконечности в сторону нуля (сверху вниз, если мы рисуем систему координат общепринятым путем) и вокруг которой мы можем вращать эту кривую, создавая двумерную зеркальную поверхность, а ось x перпендикулярна ей (скажем, идущая слева направо). Фокусным расстоянием F называется тогда число, равное расстоянию вдоль оси y от начала отсчета до фокуса.

Напишем, товарищи, уравнение, которому удовлетворяет эта кривая?



А теперь -- самое интересное: как решить это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, чтобы найти искомую поверхность?
Tags: misc, science
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 22 comments